Вариант 1, Задача 1 (Рис. 7.40): Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC соответственно в точках M и H. Найдите AC и отношение площадей треугольников ABC и BMH, если MB = 14 см, AB = 16 см, MH = 28 см.

**Решение:** 1. **Доказательство подобия \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\):** К сожалению, по представленному рисунку (7.40) невозможно доказать подобие треугольников \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), так как это не связано с условиями задачи. 2. **Найдем AC и отношение площадей треугольников ABC и BMH:** * Так как MH || AC, то \(\triangle ABC \sim \triangle MBH\) (по двум углам: \(\angle B\) - общий, \(\angle BMH = \angle BAC\) как соответственные при параллельных прямых). * Найдем коэффициент подобия: \(k = \frac{MB}{AB} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}\) * Так как \(\triangle ABC \sim \triangle MBH\), то \(\frac{MH}{AC} = k\), откуда \(AC = \frac{MH}{k} = \frac{28}{\frac{7}{8}} = 28 \cdot \frac{8}{7} = 32\) см. * Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{BMH}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}\), значит \(\frac{S_{ABC}}{S_{BMH}} = \frac{64}{49}\). **Ответ:** AC = 32 см, отношение площадей \(\frac{S_{ABC}}{S_{BMH}} = \frac{64}{49}\) **Развернутый ответ для школьника:** В этой задаче мы использовали подобие треугольников BMH и ABC. Так как MH параллельна AC, треугольники подобны по двум углам. Зная отношение сторон MB и AB, мы нашли коэффициент подобия. Затем мы использовали этот коэффициент, чтобы найти длину AC. Наконец, мы использовали свойство отношения площадей подобных треугольников, чтобы найти отношение площадей ABC и BMH.