Вариант №1. 1. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой BC. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если BC=10 см. 2. Боковое ребро четырехугольной наклонной призмы равно 10 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 3. Основаниями усеченной правильной треугольной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. 4. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

1. Пусть O — основание высоты пирамиды. Так как боковые рёбра равны, проекция O равноудалена от A, B и C; поэтому O — центр описанной окружности основания. Для прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой BC центр описанной окружности — середина BC, а радиус равен половине гипотенузы: OB = 10 : 2 = 5 см.

Боковое ребро, например DB, находим по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DOB: DB = √(DO² + OB²) = √(12² + 5²) = √169 = 13 см.

Ответ: 13 см.

2. В наклонной призме площадь боковой поверхности равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. Периметр ромба: P = 4 · 3 = 12 см. Тогда Sбок = 12 · 10 = 120 см².

Ответ: 120 см².

3. В правильной усечённой треугольной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные трапеции. Разность сторон оснований равна 5 − 3 = 2 см. Поскольку одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, его проекция на основание равна нулю; соответствующая вершина меньшего основания находится прямо над вершиной большего. Проекция каждого бокового ребра на основание имеет длину 2 см, поэтому остальные боковые рёбра имеют длину √(1² + 2²) = √5 см. Условие о перпендикулярном ребре означает, что его длина 1 см, но в равносторонних треугольниках со сторонами 5 и 3 невозможно, чтобы все три парные вершины совпадали по вертикали: у параллельных оснований горизонтальное смещение вершин одинаково и не может быть одновременно нулём для одного ребра и 2 см для остальных. Однако боковые рёбра усечённой правильной пирамиды равны между собой, так что перпендикулярное ребро длиной 1 см задаёт длину всех боковых рёбер.

Площадь одной боковой трапеции с основаниями 5 и 3 и боковыми сторонами 1 см формально требует высоты √(1² − ((5 − 3)/2)²) = 0. Поэтому такие трапеции вырождаются, а указанная конфигурация не существует: высота трапеции должна быть положительной.

Ответ: данные условия противоречивы; такой усечённой правильной пирамиды не существует.

4. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна √(12² + 5²) = 13 см. Если α — угол между пространственной диагональю и плоскостью основания, то tan α = h / 13, где h — боковое ребро. При α = 45° получаем h = 13 · tan 45° = 13 см.

Ответ: 13 см.