Вариант №2. 1. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой BC. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 3 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если BC=4 см. 2. Боковое ребро четырехугольной наклонной призмы равно 8 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 4 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 3. Основаниями усеченной правильной треугольной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 6 см и 4 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. 4. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64√2 см². Найдите ребро куба и его диагональ.

1. Основание высоты равноудалено от вершин A, B и C, поэтому это центр описанной окружности прямоугольного треугольника ABC. Радиус окружности равен половине гипотенузы BC: R = 4 : 2 = 2 см. Боковое ребро равно √(3² + 2²) = √13 см.

Ответ: √13 см.

2. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. Периметр ромба P = 4 · 4 = 16 см. Тогда Sбок = 16 · 8 = 128 см².

Ответ: 128 см².

3. Условие геометрически несовместимо. В усечённой правильной треугольной пирамиде основания параллельны, а их центры совпадают на оси симметрии. Если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то его горизонтальная проекция равна нулю, что потребовало бы совпадения соответствующих вершин оснований. Но при гомотетичных правильных треугольниках со сторонами 6 и 4 см соответствующие вершины не совпадают; длина их горизонтального смещения положительна.

Ответ: такой усечённой правильной пирамиды не существует при указанных данных.

4. Пусть ребро куба равно a. Сечение через два противоположных ребра — прямоугольник со сторонами a и диагональю грани a√2; его площадь равна a²√2. По условию a²√2 = 64√2, следовательно, a² = 64 и a = 8 см. Диагональ куба равна a√3 = 8√3 см.

Ответ: ребро куба 8 см, диагональ куба 8√3 см.