Вариант 1. 1. В ромбе ABCD |AC| = 12, |BD| = 16. От вершин A и B отложены векторы AE и BK, равные BD и AC соответственно. Найдите длину вектора KE. 2. Точка M лежит внутри треугольника ABC. От этой точки отложены векторы MF, ME, MD, равные векторам AB, AC, BC соответственно. Докажите, что MFED — параллелограмм.

1.

1. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба равна \(\sqrt{(12/2)^2+(16/2)^2}=\sqrt{36+64}=10\).
2. По условию \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AC}\). Тогда \(\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\).
3. Так как \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}\), а в ромбе можно выразить разность через стороны; эквивалентно, зададим \(A=0, B=u, D=v, C=u+v\). Тогда \(E=v-u\), \(K=2u+v\), следовательно, \(\overrightarrow{KE}=-3u\).
4. Значит, \(|KE|=3|u|=3\cdot10=30\).

Ответ: 30.

2. Из условий равенства векторов имеем \(\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{BC}\).

1. По правилу вычитания радиус-векторов \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\). Значит, \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{MD}\).
2. Также \(\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FM}\).
3. В четырёхугольнике MFED противоположные стороны попарно равны как векторы: \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{MD}\) и \(\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{FM}\). Следовательно, противоположные стороны параллельны и равны, поэтому MFED — параллелограмм.