Вариант 1. №2. В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла A делит сторону BC на отрезки BE = 8 см, CE = 2 см. ∠AEC = 150°. Найдите: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма.

Поскольку E лежит на BC, лучи EB и EC противоположны. Поэтому ∠AEB = 180° − ∠AEC = 30°.

В треугольнике ABE угол A равен половине острого угла параллелограмма: ∠BAE = ∠A/2. По сумме углов треугольника: ∠A/2 + ∠ABE + 30° = 180°.

Так как AB ∥ CE, а BE и CE лежат на одной прямой, ∠ABE = ∠ECD. Данных для определения этой величины отдельно не требуется: используем также свойство биссектрисы. Из параллельности AB ∥ CD и AE — биссектрисы угла между AB и AD следует стандартное соотношение AB = BE. Значит, AB = 8 см.

Сторона BC = BE + CE = 8 + 2 = 10 см. Следовательно, AD = 10 см, а периметр равен 2(8 + 10) = 36 см.

По указанным данным углы параллелограмма однозначно определить нельзя: угол ∠AEC задаёт угол между AE и EC, но положение AE связано с биссектрисой ∠A; при AB ∥ EC это даёт ∠AEC = 180° − ∠A/2. Тогда ∠A/2 = 30°, откуда ∠A = 60°. Смежный угол равен 120°.

Ответ: а) ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°; б) 36 см.