Вариант 1. 3. В треугольнике ABC с прямым углом C высота CH, проведённая к гипотенузе, равна \(5\sqrt{3}\) см, а отрезок AH равен 15 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.

Обозначим \(HB=x\). Для высоты, проведённой к гипотенузе, выполняется соотношение \(CH^2=AH\cdot HB\).

\((5\sqrt{3})^2=15x\), поэтому \(75=15x\) и \(HB=5\) см. Тогда \(AB=AH+HB=20\) см.

Для угла A: \(\sin A=\frac{BC}{AB}\). По свойству катета \(BC^2=AB\cdot HB=20\cdot5=100\), значит \(BC=10\) см. Поэтому \(\sin A=\frac{10}{20}=\frac12\), откуда \(A=30^\circ\).

Так как \(A+B=90^\circ\), то \(B=60^\circ\).

Ответ: \(\angle A=30^\circ,\;\angle B=60^\circ\).