Вариант 1. 4. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если одна из его диагоналей является биссектрисой его угла.

Пусть в параллелограмме ABCD диагональ AC делит угол A пополам. Тогда ∠DAC = ∠CAB.

Поскольку AD ∥ BC, углы DAC и ACB равны как накрест лежащие. Следовательно, ∠ACB = ∠CAB, поэтому треугольник ABC равнобедренный и AB = BC.

В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Значит, все четыре стороны равны. Следовательно, ABCD — ромб.