Вариант 1. 4. Точки M и K — середины рёбер A₁D₁ и DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 6. Прямая MK пересекает плоскость ABC в точке L. Найдите длину отрезка LB.

Введём координаты куба с ребром 6: \(A=(0,0,0)\), \(D=(6,0,0)\), \(B=(0,6,0)\), а верхние вершины имеют координату \(z=6\). Тогда \(A_1=(0,0,6)\), \(D_1=(6,0,6)\).

Середины рёбер: \(M=(3,0,6)\), \(K=(6,0,3)\). Прямая MK лежит в плоскости передней грани, где \(y=0\). Её направление от M к K — \((3,0,-3)\); продолжая прямую до плоскости ABC, то есть до \(z=0\), получаем \(L=(9,0,0)\).

Так как \(B=(0,6,0)\), то \(LB=\sqrt{(9-0)^2+(0-6)^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

Ответ: \(3\sqrt{13}\).