Вариант 1. 5. Высота BM, проведённая из вершины B ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Треугольник ABM прямоугольный: BM перпендикулярна AD, а M лежит на AD. Угол ABM равен 30°, а сторона AM = 4 см лежит напротив этого угла. В прямоугольном треугольнике сторона напротив угла 30° равна половине гипотенузы, поэтому AB = 2 · 4 = 8 см.

В ромбе все стороны равны, следовательно, AD = 8 см. Тогда MD = AD − AM = 8 − 4 = 4 см, то есть M — середина AD. Перпендикуляр из вершины B к AD проходит через середину AD, поэтому треугольник ABD равнобедренный и BM также является биссектрисой угла ABD. Поскольку ∠ABM = 30°, ∠ABD = 60°. В равнобедренном треугольнике ABD равны углы при основании, значит, ∠ADB = 60°. Следовательно, треугольник ABD равносторонний и BD = AB = 8 см.

Ответ: 8 см.