Вариант 1 В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC , угол OCD равен 30°. Найдите величину угла ОАВ .

Решение:

1. Дано: окружность с центром в точке О, диаметры AD и BC, ∠ OCD = 30°.
2. Найти: ∠ OAB.
3. Анализ:
• Так как OC и OD — радиусы окружности, то △ OCD — равнобедренный.
• Следовательно, ∠ ODC = ∠ OCD = 30°.
• ∠ BOC — развернутый угол (180°), так как BC — диаметр.
• ∠ AOD — развернутый угол (180°), так как AD — диаметр.
• ∠ AOC и ∠ BOD — вертикальные углы, поэтому ∠ AOC = ∠ BOD.
• ∠ AOB и ∠ COD — вертикальные углы, поэтому ∠ AOB = ∠ COD.
• ∠ COD = 180° - ∠ AOC - ∠ BOD = 180° - 2 * ∠ AOC.
• ∠ AOC + ∠ COD + ∠ DOB + ∠ BOA = 360°.
• ∠ AOC = 180° - ∠ COD.
• ∠ COD = 180° - (∠ OCD + ∠ ODC) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.
• ∠ AOB = ∠ COD = 120°.
• ∠ AOC = 180° - 120° = 60°.
• ∠ BOD = ∠ AOC = 60°.
• ∠ OAB и ∠ OBA — углы равнобедренного △ OAB (OA=OB=радиус).
• ∠ OAB = ∠ OBA = (180° - ∠ AOB) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°.

Ответ: 30°