Вариант 1, Задание 4: На рисунке 66 точка О — центр окружности, ∠OAD = 34°. Найдите угол FOA.

Решение:

1. В треугольнике ΔOAD, OA и OD — радиусы окружности, поэтому OA = OD. Следовательно, ΔOAD — равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠ODA = ∠OAD = 34°.
3. Сумма углов в треугольнике равна 180°. В ΔOAD: ∠AOD + ∠OAD + ∠ODA = 180°.
4. ∠AOD + 34° + 34° = 180°.
5. ∠AOD + 68° = 180°.
6. ∠AOD = 180° - 68° = 112°.
7. OD и OF — радиусы окружности, поэтому OD = OF. Следовательно, ΔOFD — равнобедренный.
8. FD — хорда, OA — радиус.
9. Угол FOA является центральным углом, который опирается на дугу FA.
10. Угол FOA и угол AOD являются смежными, если точки F, O, D лежат на одной прямой (что не так, FD - хорда).
11. Угол ∠FOD является центральным углом.
12. Угол ∠FAD является вписанным углом, опирающимся на дугу FD.
13. Угол ∠FOA является центральным углом, опирающимся на дугу FA.
14. В данном рисунке FD - это диаметр, так как он проходит через центр O.
15. Если FD — диаметр, то ∠FAD = 90° (угол, вписанный в полуокружность).
16. В ΔOAD, OA = OD (радиусы), ∠OAD = 34°, ∠ODA = 34°, ∠AOD = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°.
17. Если FD — диаметр, то ∠FOD — развернутый угол, 180°.
18. Угол FOA и угол AOD являются смежными, если точки F, O, D лежат на одной прямой. Так как FD — диаметр, это так.
19. ∠FOA + ∠AOD = 180°.
20. ∠FOA + 112° = 180°.
21. ∠FOA = 180° - 112° = 68°.

Ответ: ∠FOA = 68°.