Вариант 2. 4. Диагонали ромба пересекаются в точке O и равны 18 см и 26 см. Найти периметр ромба и периметр одного из треугольников, если один из углов, которые образует диагональ со стороной ромба, равен 60°.

Половины диагоналей ромба равны 9 см и 13 см. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона ромба должна быть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 13 см:

\(a=\sqrt{9^2+13^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\) см.

Тогда периметр ромба равен \(4a=20\sqrt{10}\) см. Периметр треугольника, образованного двумя половинами диагоналей и стороной ромба, равен \(9+13+5\sqrt{10}=22+5\sqrt{10}\) см.

Однако условие про угол 60° противоречит заданным диагоналям: угол между стороной и диагональю не может быть 60°, поскольку его тангенс равен отношению катетов 9 и 13 либо 13 и 9, а ни одно из этих отношений не равно \(\sqrt{3}\). Поэтому вычисления по длинам диагоналей дают указанные результаты, но все данные задачи одновременно выполнить нельзя.

Ответ: по диагоналям периметр ромба равен \(20\sqrt{10}\) см, периметр указанного треугольника — \(22+5\sqrt{10}\) см; условие об угле 60° несовместимо с длинами диагоналей.