Вариант 2. 4*. В прямоугольной трапеции один из углов равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равна b.

Пусть большая боковая сторона равна \(b\), высота трапеции — \(h\), а разность оснований — \(d\). Угол 120° находится между наклонной боковой стороной и основанием. Поэтому горизонтальная проекция наклонной стороны равна \(d=\frac b2\), а высота \(h=\frac{\sqrt3}{2}b\).

Обозначим меньшее основание через \(c\). Меньшая диагональ вместе с высотой и меньшим основанием образует прямоугольный треугольник. По условию длина этой диагонали равна \(b\), следовательно, \(c^2+h^2=b^2\).

Подставим высоту: \(c^2+\frac34b^2=b^2\), откуда \(c^2=\frac14b^2\) и \(c=\frac b2\).

Большее основание равно меньшему основанию плюс разность оснований: \(c+d=\frac b2+\frac b2=b\). Средняя линия равна полусумме оснований: \(\frac{b+b/2}{2}=\frac{3b}{4}\).

Ответ: \(\frac{3b}{4}\).