Вариант 2. 5. При каких целых значениях \(b\) является целым числом выражение \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}\)?

Раскроем скобки в числителе:

\((b-2)^2+8b+1=b^2-4b+4+8b+1=b^2+4b+5\).

Разделим каждый член числителя на \(b\):

\(\frac{b^2+4b+5}{b}=b+4+\frac{5}{b}\).

Для целого \(b\) выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(\frac{5}{b}\) — целое число. Значит, \(b\) должен быть ненулевым целым делителем числа 5.

Ответ: \(b\in\{-5,-1,1,5\}\).