Вариант 2. 5. При каких целых значениях \(b\) значение выражения \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}\) является целым числом?

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(b\ne0\). Раскроем скобки и разделим каждый член числителя на \(b\):

\(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}=\frac{b^2-4b+4+8b+1}{b}=b+4+\frac{5}{b}\).

При целом \(b\ne0\) выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(\frac{5}{b}\) — целое, то есть \(b\) является целым делителем числа 5.

Такие делители: \(-5,-1,1,5\).

Ответ: \(b=-5,-1,1,5\).