Ответ:

  1. недомогать с утра — глагол с приставкой недо- в значении недостаточности.
  2. не спал всю ночь — НЕ с глаголом пишется раздельно.
  3. не широкая, но бурная река — раздельно из-за противопоставления с союзом «но».
  4. ничто не забыто — отрицательное местоимение без предлога пишется слитно с НИ.
  5. ничуть не устал — НИ усиливает отрицание; с глаголом НЕ пишется раздельно.
  6. далеко не красивый поступок — раздельно при усилении отрицания словом «далеко».
  7. некогда отдыхать — слитно: нет времени отдыхать.
  8. не хватает до потолка — НЕ с глаголом пишется раздельно.
  9. нисколько не устал — НИ усиливает отрицание; с глаголом НЕ пишется раздельно.
  10. не у кого спросить — раздельно, поскольку местоимение употреблено с предлогом.