Вариант A1 1. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат. 2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения.

Давайте решим задачи варианта А1 по порядку. 1. Площадь боковой поверхности призмы * Основание призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Тогда гипотенуза основания равна: $$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ см. * Поскольку наибольшая боковая грань - квадрат, то высота призмы равна 10 см (так как это наибольшая сторона прямоугольного треугольника). * Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней. В данном случае это три прямоугольника: * $$S_1 = 6 \cdot 10 = 60$$ см$$^2$$ * $$S_2 = 8 \cdot 10 = 80$$ см$$^2$$ * $$S_3 = 10 \cdot 10 = 100$$ см$$^2$$ * Полная площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 60 + 80 + 100 = 240$$ см$$^2$$ Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 240 см$$^2$$. 2. Правильная четырехугольная пирамида * Боковое ребро равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Так как пирамида правильная четырехугольная, то в основании лежит квадрат. Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания. Эта проекция соединяет вершину основания (центр квадрата) и вершину пирамиды. а) Найдем высоту пирамиды: * Пусть $$h$$ - высота пирамиды, $$a$$ - половина диагонали основания. Тогда $$\tan 45° = \frac{h}{a}$$. Так как $$\tan 45° = 1$$, то $$h = a$$. * Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. По теореме Пифагора: $$h^2 + a^2 = 4^2$$ или $$2h^2 = 16$$, откуда $$h^2 = 8$$, $$h = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ см. Ответ: Высота пирамиды равна $$2\sqrt{2}$$ см. б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды: * Пусть сторона основания равна $$x$$. Тогда $$a = \frac{x\sqrt{2}}{2}$$. Так как $$a = 2\sqrt{2}$$, то $$\frac{x\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$, откуда $$x = 4$$ см. * Площадь основания равна $$4^2 = 16$$ см$$^2$$. * Апофема (высота боковой грани) $$l$$ находится из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды: $$l = \sqrt{h^2 + (x/2)^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ см. * Площадь одной боковой грани: $$S_{грани} = \frac{1}{2} x l = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ см$$^2$$. * Площадь боковой поверхности пирамиды: $$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $$16\sqrt{3}$$ см$$^2$$. 3. Сечение тетраэдра * Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Построим сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC. * Так как сечение параллельно плоскости DBC, то прямые пересечения секущей плоскости с гранями ADB и ADC будут параллельны прямым DB и DC соответственно. * Пусть M - середина DA. Проведем через M прямую MN || DB, где N лежит на AB. Тогда N - середина AB (по теореме Фалеса). * Аналогично, проведем через M прямую MK || DC, где K лежит на AC. Тогда K - середина AC. * Соединим N и K. NK || BC (как средняя линия треугольника ABC). * Таким образом, сечение - это треугольник MNK. * MN = $$\frac{1}{2}$$DB = $$\frac{a}{2}$$, MK = $$\frac{1}{2}$$DC = $$\frac{a}{2}$$, NK = $$\frac{1}{2}$$BC = $$\frac{a}{2}$$. Значит, треугольник MNK - равносторонний со стороной $$\frac{a}{2}$$. * Площадь треугольника MNK: $$S = \frac{(\frac{a}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$$. Ответ: Площадь сечения равна $$\frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$$.