Вариант A2 1. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $$6\sqrt{3}$$ см. Найдите периметр треугольника. 2. Около окружности описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 24 см. Найдите боковую сторону трапеции. 3. Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 2,5 см. Найдите периметр и площадь этого треугольника, если его катеты относятся как 3:4.

Разберем задачи по порядку:

1. Задача 1:

   Пусть радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен $$r$$. Известно, что $$r = 6\sqrt{3}$$ см. Нужно найти периметр треугольника $$P$$.

   В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной треугольника $$a$$ следующим образом: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$. Выразим сторону $$a$$ через радиус $$r$$:

   $$a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 36$$ см.

   Периметр равностороннего треугольника равен $$P = 3a$$, следовательно:

   $$P = 3 \cdot 36 = 108$$ см.

   Ответ: 108 см

2. Задача 2:

   Пусть дана равнобедренная трапеция, описанная около окружности, с периметром $$P = 24$$ см. Нужно найти боковую сторону трапеции $$b$$.

   Известно, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. В равнобедренной трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

   $$a + c = b + b = 2b$$, где $$a$$ и $$c$$ - основания трапеции, $$b$$ - боковая сторона.

   Периметр трапеции равен сумме всех сторон: $$P = a + c + 2b$$. Заменим $$a + c$$ на $$2b$$:

   $$P = 2b + 2b = 4b$$

   Выразим боковую сторону $$b$$ через периметр $$P$$:

   $$b = \frac{P}{4} = \frac{24}{4} = 6$$ см.

   Ответ: 6 см

3. Задача 3:

   Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса $$R = 2.5$$ см. Катеты относятся как 3:4. Нужно найти периметр $$P$$ и площадь $$S$$ этого треугольника.

   Так как окружность описана около прямоугольного треугольника, то гипотенуза является диаметром окружности. Следовательно, гипотенуза $$c = 2R = 2 \cdot 2.5 = 5$$ см.

   Пусть катеты равны $$3x$$ и $$4x$$. По теореме Пифагора:

   $$(3x)^2 + (4x)^2 = c^2$$
   $$9x^2 + 16x^2 = 25$$
   $$25x^2 = 25$$
   $$x^2 = 1$$
   $$x = 1$$

   Тогда катеты равны $$3 \cdot 1 = 3$$ см и $$4 \cdot 1 = 4$$ см.

   Периметр треугольника равен сумме всех сторон: $$P = 3 + 4 + 5 = 12$$ см.

   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$$ см$$^2$$.

   Ответ: Периметр равен 12 см, площадь равна 6 см².