Вариант А2. 1. Луч OB делит угол AOC на два угла. а) Найдите углы AOB и BOC, если ∠AOC = 150°, а угол AOB в 4 раза меньше угла BOC. б) Луч OD — биссектриса угла AOC. Найдите угол BOD. 2. На рисунке ∠KOM = 90°, OP — биссектриса угла LOM. Найдите ∠MOL, если ∠KOP = 50°. 3. Угол, равный 160°, разделен тремя лучами на четыре равных угла. Сколько углов, равных 80°, при этом образовалось?

1а) Пусть ∠AOB = x. Тогда ∠BOC = 4x, а их сумма равна 150°: x + 4x = 150°, откуда x = 30°. Значит, ∠AOB = 30°, ∠BOC = 120°.

1б) OD — биссектриса ∠AOC, поэтому ∠AOD = ∠DOC = 75°. Луч OB расположен внутри угла AOC и образует с OA угол 30°. Следовательно, ∠BOD = 75° − 30° = 45°.

2. Обозначим ∠MOL через x. Так как OP — биссектриса, ∠LOP = x : 2. Лучи OK и OM образуют прямой угол, поэтому ∠KOL + x = 90°. Кроме того, ∠KOP = ∠KOL + ∠LOP = 50°.

Вычтем первое соотношение из второго: x − x : 2 = 90° − 50° = 40°. Значит, x : 2 = 40°, откуда x = 80°.

3. Три внутренних луча делят угол на четыре равные части: 160° : 4 = 40°. Угол 80° образуют две соседние части. Среди четырёх частей есть три пары соседних частей.

Ответ: 1а) ∠AOB = 30°, ∠BOC = 120°; 1б) ∠BOD = 45°; 2) ∠MOL = 80°; 3) образовалось 3 угла по 80°.