Вариант А2. 3. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть диагонали прямоугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\) под прямым углом.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(AO=BO\).
2. Треугольник \(AOB\) прямоугольный, так как диагонали перпендикулярны, и равнобедренный, так как \(AO=BO\). Следовательно, его острые углы равны по 45°, а значит, \(\angle OAB=45°\).
3. Поскольку \(O\) лежит на диагонали \(AC\), получаем \(\angle BAC=45°\). Угол прямоугольника при вершине \(A\) равен 90°, значит, диагональ \(AC\) делит его на два угла по 45°.
4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) углы при \(A\) и \(B\) равны: оба по 45°. Поэтому противолежащие им стороны равны: \(AB=BC\). Прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат.

Что и требовалось доказать.