Вариант А2. Даны векторы \(\vec a\{-5;1\}\), \(\vec b\{0;-3\}\), \(\vec c\{4;-2\}\). 1) Найдите координаты векторов \(\vec m=-\vec a+2\vec b-\vec c\), \(\vec n=2\vec a-\frac13\vec b+4\vec c\). 2) Запишите разложение векторов \(\vec m\) и \(\vec n\) по координатным векторам \(\vec i\) и \(\vec j\). 3) Найдите среди векторов \(\vec k\{-6;5\}\), \(\vec l\{1;2\}\), \(\vec p\{5;-25\}\), \(\vec r\{-8;4\}\) векторы, коллинеарные векторам \(\vec m\) и \(\vec n\). 4) Разложите вектор \(\vec d\) по векторам \(\vec a\) и \(\vec b\), если \(\vec d\{-10;5\}\).

1) Координаты векторов.

\(\vec m=-\vec a+2\vec b-\vec c=(5;-1)+(0;-6)-(4;-2)=(1;-5)\).

\(\vec n=2\vec a-\frac13\vec b+4\vec c=(-10;2)-(0;-1)+(16;-8)=(6;-5)\).

2) Разложение по координатным векторам.

\(\vec m=\vec i-5\vec j\), \(\vec n=6\vec i-5\vec j\).

3) Коллинеарные векторы.

\(\vec p=(5;-25)=5\vec m\), значит, \(\vec p\) коллинеарен \(\vec m\). Кроме того, \(\vec k=(-6;5)=-\vec n\), значит, \(\vec k\) коллинеарен \(\vec n\). Векторы \(\vec l\) и \(\vec r\) не пропорциональны координатам ни \(\vec m\), ни \(\vec n\).

4) Разложение вектора \(\vec d\).

Пусть \(\vec d=\alpha\vec a+\beta\vec b\). По первой координате: \(-5\alpha=-10\), откуда \(\alpha=2\). По второй: \(2-3\beta=5\), откуда \(\beta=-1\).

Следовательно, \(\vec d=2\vec a-\vec b\).