Вариант А2, Задание 2: Угол АВС равен 150°. Из точки А к прямой ВС проведен перпендикуляр АМ, равный 12 см. Найдите длину отрезка АВ.

Решение:

Дан треугольник АВС, \( \angle ABC = 150^{\circ} \). Из точки А к прямой ВС проведен перпендикуляр АМ, \( AM = 12 \) см. Так как \( \angle ABC \) — тупой, точка М лежит на продолжении отрезка ВС за точку В.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM, где \( \angle AMB = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle ABM \) смежный с углом \( \angle ABC \), поэтому:

\[ \angle ABM = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \]

В прямоугольном треугольнике ABM:

• Катет AM = 12 см (противолежащий углу \( \angle ABM \)).
• Угол \( \angle ABM = 30^{\circ} \).
• Гипотенуза AB — неизвестна.

Используем синус угла \( \angle ABM \):

\[ \sin(\angle ABM) = \frac{AM}{AB} \]

\[ AB = \frac{AM}{\sin(\angle ABM)} \]

\[ AB = \frac{12 \text{ см}}{\sin(30^{\circ})} \]

Поскольку \( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \):

\[ AB = \frac{12 \text{ см}}{\frac{1}{2}} = 12 \text{ см} \times 2 = 24 \text{ см} \]

Ответ: 24 см.