Вариант Б1 ① На данном рисунке треугольник DBE равнобедренный с основанием DE, ZABE = ∠DBC. а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. б) Найдите ∠BDE, если сумма углов BDA и ВЕС равна 230°.

a) Рассмотрим треугольник DBE. Так как он равнобедренный с основанием DE, то углы при основании равны: $$ \angle BDE = \angle BED $$.

Дано: $$ \angle ABE = \angle DBC $$.

Рассмотрим треугольники ABE и DBC:

• Сторона BE = BD (т.к. треугольник DBE равнобедренный);
• $$ \angle ABE = \angle DBC $$ (по условию);
• $$ \angle BDE = \angle BED $$ (углы при основании равнобедренного треугольника).

Тогда, треугольники ABE и DBC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AB = BC.

Следовательно, треугольник ABC равнобедренный (по определению).

б) Дано: сумма углов BDA и BEC равна 230°, то есть $$ \angle BDA + \angle BEC = 230^\circ $$.

Углы BDA и BEC смежные с углами BDE и BED соответственно. Сумма смежных углов равна 180°.

Тогда,

$$ \angle BDE = 180^\circ - \angle BDA $$ $$ \angle BED = 180^\circ - \angle BEC $$.

Сложим эти два равенства:

$$ \angle BDE + \angle BED = 180^\circ - \angle BDA + 180^\circ - \angle BEC $$ $$ \angle BDE + \angle BED = 360^\circ - (\angle BDA + \angle BEC) $$ $$ \angle BDE + \angle BED = 360^\circ - 230^\circ $$ $$ \angle BDE + \angle BED = 130^\circ $$.

Так как углы BDE и BED равны (треугольник DBE равнобедренный), то

$$ \angle BDE = \angle BED = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ $$.

Ответ: а) треугольник ABC равнобедренный; б) $$ \angle BDE = 65^\circ $$.