Вариант 1 I. Решить уравнения! a) y³-y = 0 б) x⁴-5x²=0 в) x⁴-11x²+18=0 г) 9x³-18x²+2=0 д) (x²-3x)²-2(x²-3x) = 8 e) (x²+x)(x²+x-5)=84 II. Задача Катер прошел по течению реки 36 км, а против течения за такое же время 20 км. Найти скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч. III. *Решить уравнение (x²-3x)²-14(x²-3x)+40=0

Предмет: Математика

I. Решить уравнения!

a) $$y^3 - y = 0$$ $$y(y^2 - 1) = 0$$ $$y(y-1)(y+1) = 0$$ $$y_1 = 0, y_2 = 1, y_3 = -1$$

Ответ: $$y_1 = 0, y_2 = 1, y_3 = -1$$

б) $$x^4 - 5x^2 = 0$$ $$x^2(x^2 - 5) = 0$$ $$x_1 = 0, x_2 = \sqrt{5}, x_3 = -\sqrt{5}$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = \sqrt{5}, x_3 = -\sqrt{5}$$

в) $$x^4 - 11x^2 + 18 = 0$$

Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 11t + 18 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$$

$$t_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2} = \frac{11 + 7}{2} = 9$$

$$t_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2} = \frac{11 - 7}{2} = 2$$

Вернемся к замене: $$x^2 = 9$$ и $$x^2 = 2$$.

$$x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$$

Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$$

г) $$9x^3 - 18x^2 + x + 2 = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(9x^3 - 18x^2) + (x + 2) = 0$$ $$9x^2(x - 2) + (x + 2) = 0$$

Тут, к сожалению, сгруппировать не получается. Корни не подбираются.

д) $$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) = 8$$

Пусть $$t = x^2 - 3x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 2t - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

$$t_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

$$t_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$

Вернемся к замене: $$x^2 - 3x = 4$$ и $$x^2 - 3x = -2$$.

$$x^2 - 3x - 4 = 0$$ и $$x^2 - 3x + 2 = 0$$

Для первого уравнения:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

$$x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1$$

Для второго уравнения:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$

$$x_3 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

$$x_4 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$

Ответ: $$x_1 = 4, x_2 = -1, x_3 = 2, x_4 = 1$$

e) $$(x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84$$

Пусть $$t = x^2 + x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t(t - 5) = 84$$ $$t^2 - 5t - 84 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$$

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{361}}{2} = \frac{5 + 19}{2} = 12$$

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{361}}{2} = \frac{5 - 19}{2} = -7$$

Вернемся к замене: $$x^2 + x = 12$$ и $$x^2 + x = -7$$.

$$x^2 + x - 12 = 0$$ и $$x^2 + x + 7 = 0$$

Для первого уравнения:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$$

Для второго уравнения:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27$$

Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -4$$

II. Задача

Пусть $$v$$ - скорость катера в стоячей воде, тогда скорость катера по течению $$v + 2$$, а против течения $$v - 2$$.

Время, которое катер плыл по течению $$t_1 = \frac{36}{v + 2}$$, а против течения $$t_2 = \frac{20}{v - 2}$$.

Так как время одинаковое, то $$t_1 = t_2$$.

$$\frac{36}{v + 2} = \frac{20}{v - 2}$$

$$36(v - 2) = 20(v + 2)$$

$$36v - 72 = 20v + 40$$

$$16v = 112$$

$$v = 7$$

Ответ: 7 км/ч

III. *Решить уравнение

$$(x^2 - 3x)^2 - 14(x^2 - 3x) + 40 = 0$$

Пусть $$t = x^2 - 3x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 14t + 40 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36$$

$$t_1 = \frac{14 + \sqrt{36}}{2} = \frac{14 + 6}{2} = 10$$

$$t_2 = \frac{14 - \sqrt{36}}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4$$

Вернемся к замене: $$x^2 - 3x = 10$$ и $$x^2 - 3x = 4$$.

$$x^2 - 3x - 10 = 0$$ и $$x^2 - 3x - 4 = 0$$

Для первого уравнения:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

$$x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2$$

Для второго уравнения:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

$$x_3 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

$$x_4 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1$$

Ответ: $$x_1 = 5, x_2 = -2, x_3 = 4, x_4 = -1$$