Вариант ІI. 1. Диагонали ромба КМПР пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КОМ, если угол MNP равен 80°. 2. На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так, что AB = BM. а) Докажите, что АМ - биссектриса угла ВАД. б) Найдите периметр параллелограмма, если СД = 8 см, СМ = 4 см.

Предмет: геометрия Вариант II 1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KOM, если угол MNP равен 80°. В ромбе противоположные углы равны, значит $$\angle NKM = \angle MNP = 80^{\circ}$$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому $$\angle OKM = \frac{1}{2} \angle NKM = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ}$$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, следовательно $$\angle KОM = 90^{\circ}$$. Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$, значит $$\angle OMK = 180^{\circ} - \angle KОM - \angle OKM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$$. Ответ: $$\angle OKM = 40^{\circ}$$, $$\angle KОM = 90^{\circ}$$, $$\angle OMK = 50^{\circ}$$. 2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM – биссектриса угла BAD. $$\angle ABM = 180^{\circ} - \angle ABC$$. Так как ABCD параллелограмм, то $$AB = CD$$ и $$BC = AD$$. Так как $$AB = BM$$, то треугольник ABM – равнобедренный. Следовательно, $$\angle BAM = \angle BMA = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle ABM) = \frac{1}{2} (180^{\circ} - (180^{\circ} - \angle ABC)) = \frac{1}{2} \angle ABC$$. $$\angle MAD = \angle BAD - \angle BAM = \angle BAD - \frac{1}{2} \angle ABC$$. В параллелограмме углы BAD и ABC – односторонние, значит их сумма равна $$180^{\circ}$$. $$\angle MAD = 180^{\circ} - \angle ABC - \frac{1}{2} \angle ABC = 180^{\circ} - \frac{3}{2} \angle ABC$$. Это доказательство не показывает, что AM - биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, СМ = 4 см. Если $$CD = 8$$ см, то $$AB = 8$$ см. Т.к. $$AB = BM$$, то $$BM = 8$$ см. Значит, $$BC = BM + MC = 8 + 4 = 12$$ см. Т.к. $$BC = AD$$, то $$AD = 12$$ см. Периметр параллелограмма равен $$P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (8 + 12) = 2 \cdot 20 = 40$$ см. Ответ: 40 см.