Вариант ІI. 1. Диагонали ромба КМПР пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КОМ, если угол MNP равен 80°. 2. На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так, что AB = BM. а) Докажите, что АМ - биссектриса угла ВАД. б) Найдите периметр параллелограмма, если СД = 8 см, СМ = 4 см. Вариант III. 1. Через вершину С прямоугольника АВСД проведена прямая, параллельная диагонали ВД и пересекающая прямую АВ в точке М. Через точку М проведена прямая, параллельная диагонали АС и пересекающая прямую ВС в точке №. Найдите периметр четырех- угольника АCMN, если диагональ ВД равна 8 см. 2. Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересека- ются в точке М, лежащей на стороне ВС. Луч ДМ пересекает пря- мую АВ в точке М. Найдите периметр параллелограмма АВСД, если AN = 10 см.

Математика. Вариант II. 1. Так как KMNP - ромб, то все его стороны равны, и диагонали являются биссектрисами углов. Значит, $$\angle MNP = 80^{\circ}$$, то $$\angle KNM = \angle KPM = 80^{\circ}$$. $$\angle NMK = \angle MPK = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}$$. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то $$\angle KOM = 90^{\circ}$$. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, следовательно, $$\angle OKM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$$. Итак, углы треугольника KOM равны: $$\angle KOM = 90^{\circ}$$, $$\angle OKM = 50^{\circ}$$, $$\angle KMO = 40^{\circ}$$. 2. а) Докажем, что AM - биссектриса угла ВАД. $$\angle ABM = \angle BAM$$ (т.к. AB = BM по условию). $$\angle ABM = \angle CAD$$ (как соответственные углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AB). $$\angle BAM = \angle CAD$$. AM - биссектриса угла BAD. б) Найдем периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см. Так как AB = BM и BC = BM + MC, то BC = AB + 4. Периметр параллелограмма равен $$2 \cdot (AB + BC)$$. Так как AB = CD = 8, то BC = 8 + 4 = 12. Следовательно, периметр равен $$2 \cdot (8 + 12) = 2 \cdot 20 = 40$$ см. Вариант III. 1. В прямоугольнике ABCD диагональ BD равна 8 см. Так как CM параллельна BD и DM параллельна AC, то ACMD - параллелограмм, следовательно AC=DM, AD=CM. Так как ABCD - прямоугольник, то AC = BD = 8 см. Так как диагонали прямоугольника равны. Рассмотрим четырехугольник ACMN. AC || MN (т.к. MN параллельна AC по условию). CM || AN (т.к. CM параллельна BD, AN параллельна BD по условию). Значит ACMN - параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны. AC = MN = 8 см, CM = AN. Так как ABCD - прямоугольник, то $$\angle ABC = 90^{\circ}$$. Так как CM параллельна BD, то $$\angle MBC = \angle DBM$$. Так как MN параллельна AC, то $$\angle MNB = \angle ACB$$. Так как BD параллельна CM, то $$\angle DBC = \angle MCB$$. Так как AC параллельна MN, то $$\angle MCA = \angle NMC$$. AC = BD. P = AC + CM + MN + AN = 8 + CM + 8 + AN. Чтобы найти периметр, нужно знать длину CM или AN. К сожалению, в условии задачи не хватает данных, чтобы вычислить периметр четырехугольника ACMN. 2. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Луч DM пересекает прямую AB в точке N. Найти периметр параллелограмма ABCD, если AN = 10 см. $$\angle MAD = \angle NDA$$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AN). $$\angle NAM = \angle MAD$$ (т.к. AM - биссектриса угла A). $$\angle NAM = \angle NDA$$. Следовательно, треугольник AND - равнобедренный. AN = AD = 10 см. Так как DM - биссектриса угла D, то $$\angle ADM = \angle CDM$$. AD || BC. $$\angle ADM = \angle DMC$$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DM). $$\angle CDM = \angle DMC$$, следовательно, треугольник CDM - равнобедренный. CM = CD. $$\angle ADN + \angle CDN = 180^{\circ}$$. Так как AD = 10, то CD = 10. P = 2 \cdot (AD + CD) = 2 \cdot (10 + 10) = 2 \cdot 20 = 40$$ см.