Вариант ІІ 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 15 а диагональ – 17. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм. 4. Найдите cosa, если sin a = 4 5. Найдите косинус угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 21, АС=20. 6. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 4 см. 7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 0,25. Найдите синус угла А. 8. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона - 13 см, высота - 12 см.

Вариант II

1. Задание 1: Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника.

   Решение:По теореме Пифагора, гипотенуза $$c$$ равна:

   $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты треугольника.

   В нашем случае, $$a = 24 \text{ см}$$, $$b = 7 \text{ см}$$.

   $$c = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}$$.

   Ответ: 25 см

2. Задание 2: Сторона прямоугольника равна 15, а диагональ – 17. Найдите другую сторону прямоугольника.

   Решение:Пусть одна сторона прямоугольника $$a$$, другая - $$b$$, а диагональ - $$d$$. По теореме Пифагора, для прямоугольника:

   $$d^2 = a^2 + b^2$$

   В нашем случае, $$a = 15$$ и $$d = 17$$. Нужно найти $$b$$.

   $$b^2 = d^2 - a^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$$

   $$b = \sqrt{64} = 8$$.

   Ответ: 8

3. Задание 3: Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм.

   Решение:По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника:

   $$c^2 = a^2 + b^2$$, где $$c$$ - гипотенуза, $$a$$ и $$b$$ - катеты.

   В нашем случае, $$c = 20 \text{ дм}$$, $$b = 16 \text{ дм}$$. Нужно найти $$a$$.

   $$a^2 = c^2 - b^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$$

   $$a = \sqrt{144} = 12 \text{ дм}$$.

   Ответ: 12 дм

4. Задание 4: Найдите $$\cos \alpha$$, если $$\sin \alpha = \frac{1}{4}$$.

   Решение:Используем основное тригонометрическое тождество:

   $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

   $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

   $$\cos \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$.

   Ответ: $$\frac{\sqrt{15}}{4}$$

5. Задание 5: Найдите косинус угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 21, АС=20.

   Решение:В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB). Сначала найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

   $$AB^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$$

   $$AB = \sqrt{841} = 29$$

   Теперь найдем косинус угла A:

   $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$$.

   Ответ: $$\frac{20}{29}$$

6. Задание 6: Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 4 см.

   Решение:Высота равностороннего треугольника $$h$$ со стороной $$a$$ вычисляется по формуле:

   $$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$.

   В нашем случае, $$a = 4 \text{ см}$$.

   $$h = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \text{ см}$$.

   Ответ: $$2\sqrt{3}$$ см

7. Задание 7: В треугольнике ABC угол C равен 90°, $$\tan A = 0,25$$. Найдите синус угла А.

   Решение:Известно, что $$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$. Также известно, что $$\tan A = 0,25 = \frac{1}{4}$$.

   Выразим $$\cos A$$ через $$\sin A$$: $$\cos A = \frac{\sin A}{\tan A} = 4 \sin A$$

   Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$

   Подставим полученное выражение для $$\cos A$$:

   $$\sin^2 A + (4 \sin A)^2 = 1$$

   $$\sin^2 A + 16 \sin^2 A = 1$$

   $$17 \sin^2 A = 1$$

   $$\sin^2 A = \frac{1}{17}$$

   $$\sin A = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$$.

   Ответ: $$\frac{\sqrt{17}}{17}$$

8. Задание 8: Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона - 13 см, высота - 12 см.

   Решение:Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ - основания, $$h$$ - высота.

   У нас есть равнобедренная трапеция с меньшим основанием $$a = 7 \text{ см}$$, боковой стороной $$c = 13 \text{ см}$$ и высотой $$h = 12 \text{ см}$$. Необходимо найти большее основание $$b$$.

   Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник. Пусть $$x$$ - длина отрезка на большем основании, который образует катет прямоугольного треугольника.

   По теореме Пифагора, найдем $$x$$:

   $$x^2 + h^2 = c^2$$

   $$x^2 = c^2 - h^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$

   $$x = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$.

   Тогда большее основание трапеции равно: $$b = a + 2x = 7 + 2 \cdot 5 = 7 + 10 = 17 \text{ см}$$.

   Теперь можем вычислить площадь трапеции:

   $$S = \frac{7 + 17}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144 \text{ см}^2$$.

   Ответ: 144 см²