Вариант 1 1 Используя наиболее удобный способ вычислений, найдите значение выражения: a) 1/1·2 + 1/2·3 + 1/3·4 + ... + 1/49·50; б) 2/1·3 + 2/3·5 + 2/5·7 + ... + 2/99·101; в) 1/1+1/2+1/2+1/3

a) Для решения данного задания необходимо воспользоваться методом разложения дроби на разность двух дробей. Заметим, что каждый член суммы можно представить в виде:

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

Тогда сумма будет выглядеть так:

$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{49 \cdot 50} = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... + \left(\frac{1}{49} - \frac{1}{50}\right)$$

В этой сумме все члены, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются, поэтому:

$$1 - \frac{1}{50} = \frac{50}{50} - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$$

б) Аналогично предыдущему примеру, каждый член суммы можно представить в виде:

$$\frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$$

Тогда сумма будет выглядеть так:

$$\frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + ... + \frac{2}{99 \cdot 101} = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + ... + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right)$$

В этой сумме все члены, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются, поэтому:

$$1 - \frac{1}{101} = \frac{101}{101} - \frac{1}{101} = \frac{100}{101}$$

в) Для решения этого примера, необходимо упростить дробь:

$$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{6+1}{3}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{7}{3}}} = \frac{1}{1 + \frac{3}{7}} = \frac{1}{\frac{7+3}{7}} = \frac{1}{\frac{10}{7}} = \frac{7}{10}$$

Ответ: a) 49/50; б) 100/101; в) 7/10