2 вариант 1) Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 54. Найти другой острый угол. 2) В прямоугольном треугольнике СЕО гипотенуза СО равна 42 см, LO = 60°. Найти катет ЕО. 3) На рисунке 2 LABO = LDCO = 90°. AO = OD. Найдите CD, если АВ = 7 см. 4) В прямоугольном треугольнике DBC (LC = 90°) провели высоту СК. Найти отрезок ВК, если DB 20 см, ВС = 10 см.

1) Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 54°. Найти другой острый угол.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Пусть один из острых углов равен 54°. Тогда другой острый угол можно найти, вычитая известный угол из 90°:

$$90° - 54° = 36°$$

Ответ: 36°

2) В прямоугольном треугольнике СЕО гипотенуза СО равна 42 см, ∠O = 60°. Найти катет ЕО.

В прямоугольном треугольнике СЕО, где ∠Е = 90° и ∠O = 60°, катет ЕО является прилежащим к углу O. Мы можем использовать косинус угла O для нахождения длины катета ЕО, зная гипотенузу CO.

$$\cos(∠O) = \frac{EO}{CO}$$ $$\cos(60°) = \frac{EO}{42}$$

Так как $$ \cos(60°) = \frac{1}{2}$$, то:

$$\frac{1}{2} = \frac{EO}{42}$$ $$EO = \frac{42}{2} = 21$$

Ответ: EO = 21 см

3) На рисунке 2 LABO = LDCO = 90°. AO = OD. Найдите CD, если АВ = 7 см.

Так как LABO = LDCO = 90° и AO = OD, и углы AOB и DOC вертикальные, то треугольники ABO и DCO равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). Следовательно, соответствующие стороны равны. Значит, CD = AB.

Так как AB = 7 см, то CD = 7 см.

Ответ: CD = 7 см

4) В прямоугольном треугольнике DBC (∠C = 90°) провели высоту СК. Найти отрезок ВК, если DB = 20 см, ВС = 10 см.

В прямоугольном треугольнике DBC, СК - высота, проведенная к гипотенузе DB. Рассмотрим треугольник DBC. По теореме Пифагора:

$$DB^2 = BC^2 + DC^2$$

Выразим DC:

$$DC^2 = DB^2 - BC^2$$ $$DC^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300$$ $$DC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$

Теперь рассмотрим треугольник CBK. Он прямоугольный (так как CK - высота). По теореме Пифагора:

$$BC^2 = BK^2 + CK^2$$

Чтобы найти BK, нам нужно знать CK. Рассмотрим треугольник DCK. Он тоже прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$DC^2 = DK^2 + CK^2$$

Заметим, что DB = DK + BK, значит DK = DB - BK = 20 - BK. Тогда:

$$DC^2 = (20 - BK)^2 + CK^2$$

Мы знаем, что DC = 10√3, поэтому:

$$(10\sqrt{3})^2 = (20 - BK)^2 + CK^2$$ $$300 = (20 - BK)^2 + CK^2$$

Выразим CK^2 из уравнения для треугольника CBK:

$$CK^2 = BC^2 - BK^2 = 10^2 - BK^2 = 100 - BK^2$$

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$$300 = (20 - BK)^2 + 100 - BK^2$$ $$300 = 400 - 40BK + BK^2 + 100 - BK^2$$ $$300 = 500 - 40BK$$ $$40BK = 500 - 300$$ $$40BK = 200$$ $$BK = \frac{200}{40} = 5$$

Ответ: BK = 5 см