Вариант В1. 2. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону в отношении 9:16, высота трапеции равна 24 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть трапеция ABCD, BC || AD. AB = CD (боковые стороны). В трапецию вписана окружность, значит, \( AB + CD = BC + AD \). Так как трапеция равнобедренная, \( 2AB = BC + AD \).

Пусть боковая сторона AB делится точкой касания K в отношении 9:16. Это значит, что AK = 9x и KB = 16x (или наоборот). Тогда боковая сторона \( AB = AK + KB = 9x + 16x = 25x \).

Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В прямоугольном треугольнике ABH, \( BH = 24 \) см. Так как в трапецию вписана окружность, то высота равна диаметру вписанной окружности, то есть \( h = 2R = 24 \) см, и радиус \( R = 12 \) см.

Точка касания окружности с боковой стороной делит ее. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Высота BH = 2R = 24. Центр окружности O находится на середине высоты BH. Радиус R = 12. В точке касания K на AB, OK \(\perp\) AB. Рассмотрим треугольник ABH. По теореме Пифагора, \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).

Так как окружность вписана, то \( BH = 2R = 24 \). В прямоугольном треугольнике ABH, \( AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} \).

Из условия, точка касания делит боковую сторону в отношении 9:16. Пусть K — точка касания на AB. Тогда AK = 9x, KB = 16x. \( AB = 25x \).

В прямоугольном треугольнике ABH, BH = 24. Отрезок AH — это проекция AB на AD. \( AH = AB · \cos(\angle A) \).

Если в трапецию вписана окружность, то \( AB = \frac{BC+AD}{2} \) (средняя линия).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. BH = 24. По теореме Пифагора, \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).

В свойстве касательных, проведенных из одной точки, \( AK = \text{отрезок от A до касания на AD} \), \( BK = \text{отрезок от B до касания на BC} \).

Пусть точки касания на AB, BC, CD, AD будут K, L, M, N соответственно. AL = AN, BL = BK, CM = CL, DM = DN. Из условия, точка касания на боковой стороне делит ее в отношении 9:16. Пусть K — точка касания на AB. AK = 9x, KB = 16x. Тогда \( AB = 25x \).

Проведем высоту BH. \( BH = 24 \). В прямоугольном \(\triangle ABH\), \( AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{(25x)^2 - 24^2} \).

Из свойства вписанной окружности в трапецию: \( BC + AD = 2AB \).

Средняя линия \( m = \frac{BC + AD}{2} = AB \).

Значит, средняя линия равна боковой стороне \( AB = 25x \).

Нам нужно найти \( x \).

В \(\triangle ABH\), \( BH = 24 \). \( AH = √{(25x)^2 - 24^2} \).

Из условия, точка касания делит боковую сторону в отношении 9:16. Это означает, что от вершины угла до точки касания. Пусть A — угол при основании. От вершины A до точки касания K на AB, отрезок AK = 9x. От вершины B до точки касания K, отрезок BK = 16x. \( AB = 25x \).

Так как в трапецию вписана окружность, то \( BH = 2R = 24 \).

В \(\triangle ABH\): \( AH^2 = AB^2 - BH^2 = (25x)^2 - 24^2 \).

Также, \( AN = AK = 9x \), где N — точка касания на AD.

И \( BL = BK = 16x \), где L — точка касания на BC.

\( AD = AN + ND \) и \( BC = BL + LC \).

Так как трапеция равнобедренная, \( AN = DN' \) где N' — точка на AD. \( AB = CD \). \( AK = 9x, KB = 16x \).

\( AB = 25x \).

\( BH = 24 \).

В \(\triangle ABH\), \( AH = √{(25x)^2 - 24^2} \).

Так как \( AN = 9x \) и \( BC = BL + LC = 16x + CL \). \( AD = AN + ND = 9x + ND \).

\( AB+CD = BC+AD \) \( 2 · 25x = (16x+CL) + (9x+ND) \). \( 50x = 25x + CL + ND \). \( 25x = CL + ND \).

Так как трапеция равнобедренная, \( CL = DN \) (отрезки от вершин C и D до касательных). \( 25x = 2 · CL \), \( CL = 12.5x \).

Значит, \( BC = 16x + 12.5x = 28.5x \).

\( AD = 9x + 12.5x = 21.5x \).

Проверим среднюю линию: \( m = \frac{28.5x + 21.5x}{2} = \frac{50x}{2} = 25x \).

Это подтверждает, что средняя линия равна боковой стороне.

Теперь найдем \( x \) из \(\triangle ABH\).

\( AH = AD - HD \). \( AD = 21.5x \).

\( HD = AD - AH \).

В \(\triangle ABH\), \( AH = √{(25x)^2 - 24^2} \).

Также, \( AH \) это часть основания \( AD \). \( AD = 2 · AH' \) где \( AH' \) — отрезок от A до проекции.

В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, высота \( h = 2R \). \( AB = m = R · \frac{2}{\sin(\angle A)} \).

Пусть \( AB = 25 \). Тогда \( R = 12 \), \( BH = 24 \). \( AB = 25 \).

\( AH = √{25^2 - 24^2} = √{625 - 576} = √{49} = 7 \).

Если \( AB = 25 \) см, то средняя линия = 25 см.

Проверим условие отношения касания: \( AK = 9 \), \( KB = 16 \). \( AB = 9+16 = 25 \). Это совпадает.

Значит, средняя линия равна боковой стороне, которая равна 25 см.

Ответ: 25 см