Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть O — центр окружности, R — радиус. Пусть AB — хорда, \( AB = 30 \) см. Пусть AC — диаметр. Проекция хорды AB на диаметр AC — это отрезок AD, где D — основание перпендикуляра, опущенного из B на AC. То есть, BD \(\perp\) AC. \( AD \) — проекция AB на AC.
По условию, \( AD = R - 7 \) см.
В \(\triangle ABD\), \( ∠ ADB = 90^{\circ} \). По теореме Пифагора: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 \).
\( 30^2 = (R-7)^2 + BD^2 \).
\( 900 = (R-7)^2 + BD^2 \).
Рассмотрим \(\triangle OBD\). OB — радиус \( R \), OD = |OA - AD| = |R - (R-7)| = 7 (если D между O и A) или OD = OA + AD = R + (R-7) (если O между D и A).
Рассмотрим \(\triangle OBD\). \( OB^2 = OD^2 + BD^2 \).
\( R^2 = OD^2 + BD^2 \). \( BD^2 = R^2 - OD^2 \).
Подставим \( BD^2 \) в первое уравнение: \( 900 = (R-7)^2 + R^2 - OD^2 \).
Рассмотрим положение точки D на диаметре AC. Диаметр AC имеет длину 2R.
Из \(\triangle ABD\) и \(\triangle OBD\), мы видим, что \( BD \) — общий катет. \( BD^2 = AB^2 - AD^2 = 30^2 - (R-7)^2 \).
\( BD^2 = OB^2 - OD^2 = R^2 - OD^2 \).
\( 900 - (R-7)^2 = R^2 - OD^2 \).
\( 900 - (R^2 - 14R + 49) = R^2 - OD^2 \).
\( 900 - R^2 + 14R - 49 = R^2 - OD^2 \).
\( 851 + 14R - R^2 = R^2 - OD^2 \).
\( OD^2 = 2R^2 - 14R - 851 \).
Точка D лежит на диаметре AC. OD — расстояние от центра до проекции. OD может быть \( R - AD \) или \( AD - R \) в зависимости от положения D.
Рассмотрим \(\triangle ABD\). \( ∠ ADB = 90^{\circ} \). AB = 30. AD = R-7.
Рассмотрим \(\triangle OBD\). OB = R. OD = |OA - AD| = |R - (R-7)| = 7.
Значит, \( OD = 7 \) см.
Теперь используем \( BD^2 = R^2 - OD^2 \) и \( BD^2 = AB^2 - AD^2 \).
\( R^2 - 7^2 = 30^2 - (R-7)^2 \).
\( R^2 - 49 = 900 - (R^2 - 14R + 49) \).
\( R^2 - 49 = 900 - R^2 + 14R - 49 \).
\( R^2 = 900 - R^2 + 14R \).
\( 2R^2 - 14R - 900 = 0 \).
Разделим на 2: \( R^2 - 7R - 450 = 0 \).
Решим квадратное уравнение для R:
\( R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-450)}}{2 \cdot 1} \).
\( R = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 1800}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{1849}}{2} \).
\( \sqrt{1849} = 43 \).
\( R = \frac{7 \pm 43}{2} \).
Два возможных значения R: \( R_1 = \frac{7 + 43}{2} = \frac{50}{2} = 25 \) и \( R_2 = \frac{7 - 43}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \).
Так как радиус не может быть отрицательным, \( R = 25 \) см.
Проверим условие: AD = R - 7 = 25 - 7 = 18 см. OD = 7 см. BD^2 = R^2 - OD^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576. BD = 24 см. AB^2 = AD^2 + BD^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900. AB = 30 см. Условие выполняется.
Ответ: 25 см
