Вася написал на листах в тетради числа 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 (по числу на каждый лист). Маша случайно вырвала два листа из тетради Васи. Найди вероятность того, что дробь, составленная из чисел на листах Маши, сократима. (Ответ запиши в виде десятичной дроби, округлив до сотых.)

Разберем решение данной задачи. Всего у Васи было 12 листов с числами от 7 до 18. Маша вырвала два листа. Нам нужно найти вероятность того, что дробь, составленная из чисел на этих листах, сократима. 1. Общее количество возможных пар листов: Так как порядок не важен, используем сочетания. Общее количество способов выбрать 2 листа из 12: $$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$$ 2. Количество пар, образующих сократимую дробь: Дробь будет сократима, если числитель и знаменатель имеют общий делитель больше 1. Проанализируем возможные пары: * Оба числа четные: (8, 10), (8, 12), (8, 14), (8, 16), (8, 18), (10, 12), (10, 14), (10, 16), (10, 18), (12, 14), (12, 16), (12, 18), (14, 16), (14, 18), (16, 18) - всего 15 пар. * Оба числа делятся на 3: (9, 12), (9, 15), (9, 18), (12, 15), (12, 18), (15, 18) - всего 6 пар. * Оба числа делятся на 5: (10, 15) - 1 пара. * Пары, где одно число делится на 2, а другое на 3: (8, 9), (8, 15), (10, 9), (10, 15), (14, 9), (14, 15), (16, 9), (16, 15), (18, 8), (18, 10), (18, 14), (18, 16) - 12 пар. * Пары, где одно число делится на 2, а другое на 5: (8, 15), (12, 15), (14, 15), (16, 15), (18, 15) - 5 пар. * Пары, где одно число делится на 3, а другое на 5: (9, 10), (9, 15), (12, 10), (12, 15), (15, 10), (15, 12), (18, 10), (18, 15) - 8 пар. Однако, некоторые пары мы посчитали несколько раз (например, (12, 18) делится и на 2, и на 3). Чтобы избежать двойного счета, перечислим все подходящие пары: (8, 10), (8, 12), (8, 14), (8, 16), (8, 18), (9, 12), (9, 15), (9, 18), (10, 12), (10, 14), (10, 15), (10, 16), (10, 18), (12, 14), (12, 15), (12, 16), (12, 18), (13, 14), (14, 15), (14, 16), (14, 18), (15, 16), (15, 18), (16, 18). Четные пары: (8, 10), (8, 12), (8, 14), (8, 16), (8, 18), (10, 12), (10, 14), (10, 16), (10, 18), (12, 14), (12, 16), (12, 18), (14, 16), (14, 18), (16, 18) - 15 Делятся на 3: (9, 12), (9, 15), (9, 18), (12, 15), (15, 18) - 5 Делятся на 5: (10, 15) - 1 Взаимно простые: (7, 8), (7, 9), (7, 10), (7, 11), (7, 12), (7, 13), (7, 14), (7, 15), (7, 16), (7, 17), (7, 18) (8, 9), (8, 11), (8, 13), (8, 15), (8, 17) (9, 10), (9, 11), (9, 13), (9, 14), (9, 16), (9, 17) (10, 11), (10, 13), (10, 17) (11, 12), (11, 13), (11, 14), (11, 15), (11, 16), (11, 17), (11, 18) (12, 13), (12, 17) (13, 14), (13, 15), (13, 16), (13, 17), (13, 18) (14, 15), (14, 17) (15, 16), (15, 17) (16, 17) (17, 18) Таким образом, всего 46 пар, образующих сократимую дробь. 3. Вероятность: Вероятность того, что дробь сократима: $$P = \frac{\text{количество сократимых пар}}{\text{общее количество пар}} = \frac{46}{66} = \frac{23}{33} ≈ 0.6969...$$ 4. Округляем до сотых: 0.70 Ответ: 0.70