Велосипедист проехал с постоянной скоростью от пункта А до пункта Б расстояние 22,5 км. Через некоторое время он проехал обратно то же расстояние, уменьшив скорость на 8 км/ч. Найдите скорость велосипедиста на пути из Б в А, если на обратный путь он потратил на 1 час больше. Ответ дайте в км/ч.

Задание 4

Дано:

• Расстояние \( S = 22,5 \) км.
• Скорость из А в Б — \( v \) км/ч.
• Скорость из Б в А — \( v - 8 \) км/ч.
• Время из Б в А на 1 час больше, чем из А в Б.

Найти: скорость велосипедиста на пути из Б в А, то есть \( v - 8 \).

Решение:

1. Обозначим скорость велосипедиста на пути из А в Б как \( v \) км/ч.
2. Время в пути из А в Б: \( t_1 = \frac{S}{v} = \frac{22.5}{v} \) часа.
3. Скорость велосипедиста на пути из Б в А: \( v - 8 \) км/ч.
4. Время в пути из Б в А: \( t_2 = \frac{S}{v-8} = \frac{22.5}{v-8} \) часа.
5. По условию, на обратный путь он потратил на 1 час больше: \( t_2 = t_1 + 1 \)
6. Подставим выражения для времени:
7. \( \frac{22.5}{v-8} = \frac{22.5}{v} + 1 \)
8. Приведём к общему знаменателю:
9. \( \frac{22.5v}{(v-8)v} = \frac{22.5(v-8)}{(v-8)v} + \frac{(v-8)v}{(v-8)v} \)
10. Так как знаменатели равны, приравняем числители:
11. \( 22.5v = 22.5(v-8) + v(v-8) \)
12. \( 22.5v = 22.5v - 22.5 \times 8 + v^2 - 8v \)
13. \( 22.5v = 22.5v - 180 + v^2 - 8v \)
14. Сократим \( 22.5v \) с обеих сторон:
15. \( 0 = -180 + v^2 - 8v \)
16. Перепишем в виде квадратного уравнения:
17. \( v^2 - 8v - 180 = 0 \)
18. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
19. \( D = (-8)^2 - 4(1)(-180) = 64 + 720 = 784 \)
20. \( \sqrt{D} = \sqrt{784} = 28 \)
21. Найдем корни:
22. \( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 28}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)
23. \( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 28}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \)
24. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 18 \) км/ч — это скорость из А в Б.
25. Нас просят найти скорость на пути из Б в А, которая равна \( v - 8 \):
26. \( 18 - 8 = 10 \) км/ч.

Ответ: 10 км/ч.