Верно ли утверждение: а) наибольшее значение дроби $$rac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$$ равно 1; б) наибольшее значение дроби $$rac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$$ равно 2; в) наименьшее значение дроби $$rac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$$ равно 2?

Преобразуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат:

$$4x^2 + 4xy + y^2 + 9 = (2x + y)^2 + 9$$

Заметим, что $$(2x + y)^2 \geq 0$$ при любых значениях x и y. Следовательно, минимальное значение знаменателя равно 9 (достигается при 2x + y = 0).

Тогда максимальное значение дроби равно:

$$\frac{18}{9} = 2$$

Значение дроби может быть меньше 2, но больше 0, т.к. числитель положителен, а знаменатель всегда больше нуля.

а) Утверждение неверно, т.к. наибольшее значение дроби равно 2.

б) Утверждение верно, т.к. наибольшее значение дроби равно 2.

в) Утверждение неверно, т.к. наименьшего значения не существует, но дробь всегда больше 0.