Верны ли утверждения? А) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. В) Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Подберите правильный ответ.

Здравствуйте, ученики! Давайте разберем этот вопрос из геометрии. Нам нужно выяснить, верны ли утверждения о четырехугольниках, в которые можно вписать окружность, и наоборот. Утверждение А: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это утверждение верно. Действительно, если в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны, то есть (AB + CD = BC + AD). Это связано с тем, что касательные, проведенные из одной точки к окружности, имеют равные длины. Представим, что окружность касается сторон AB, BC, CD, и DA в точках K, L, M, и N соответственно. Тогда: * (AK = AN) * (BK = BL) * (CL = CM) * (DM = DN) Теперь выразим стороны через эти отрезки: (AB = AK + KB) (BC = BL + LC) (CD = CM + MD) (DA = DN + NA) Сложим противоположные стороны: (AB + CD = AK + KB + CM + MD) (BC + DA = BL + LC + DN + NA) Заменим равные отрезки: (AB + CD = AN + BL + CL + DN) (BC + DA = BL + CL + DN + AN) Таким образом, (AB + CD = BC + DA). Утверждение В: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Это утверждение также верно. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется условие (AB + CD = BC + AD), то в него можно вписать окружность. Доказательство этого факта несколько сложнее, но он является классическим в геометрии. Итак, оба утверждения верны. Ответ: ОА - да, В - да