Вершины треугольника АВС делят окружность в отношении 2:3:4. Найдите углы этого треугольника.

Пусть окружность разделена на части, пропорциональные числам 2, 3 и 4. Обозначим коэффициент пропорциональности как k. Тогда дуги, на которые опираются углы треугольника, равны 2k, 3k и 4k. Сумма этих дуг составляет всю окружность, то есть 360 градусов. $$2k + 3k + 4k = 360°$$ $$9k = 360°$$ $$k = \frac{360°}{9}$$ $$k = 40°$$ Теперь найдем величины дуг: Первая дуга: $$2k = 2 \cdot 40° = 80°$$ Вторая дуга: $$3k = 3 \cdot 40° = 120°$$ Третья дуга: $$4k = 4 \cdot 40° = 160°$$ Углы треугольника ABC являются вписанными и опираются на эти дуги. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Первый угол: $$\frac{160°}{2} = 80°$$ Второй угол: $$\frac{120°}{2} = 60°$$ Третий угол: $$\frac{80°}{2} = 40°$$ Ответ: Углы треугольника равны 80°, 60° и 40°.