Вершины треугольника АВС делят окружность в отношении 2:3:4. Найдите углы этого треугольника.

Дано:

• Треугольник ABC вписан в окружность.
• Дуги, на которые делят стороны треугольника окружность, относятся как 2:3:4.

Решение:

1. Пусть доли дуг равны \(2x\), \(3x\) и \(4x\).
2. Полная окружность составляет \(360^\circ\).
3. Следовательно, \(2x + 3x + 4x = 360^\circ\).
4. \(9x = 360^\circ\).
5. \(x = \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ\).
6. Величины дуг:
• Дуга BC (противолежащая углу A) = \(2x = 2 × 40^\circ = 80^\circ\).
• Дуга AC (противолежащая углу B) = \(3x = 3 × 40^\circ = 120^\circ\).
• Дуга AB (противолежащая углу C) = \(4x = 4 × 40^\circ = 160^\circ\).
7. Углы треугольника являются вписанными углами, опирающимися на эти дуги. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
8. Угол A = \(\frac{1}{2} × 80^\circ = 40^\circ\).
9. Угол B = \(\frac{1}{2} × 120^\circ = 60^\circ\).
10. Угол C = \(\frac{1}{2} × 160^\circ = 80^\circ\).
11. Проверка: \(40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ\).

Ответ: Углы треугольника равны 40°, 60°, 80°.