Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 8 см, а проєкція одного з катетів на гіпотенузу дорівнює 2 см. Знайдіть площу трикутника (розгорнуто, з формулами та рисунком).

Розв'язання: 1. Зробимо малюнок: Оскільки нам дано прямокутний трикутник, висоту, проведену до гіпотенузи, і проєкцію одного з катетів на гіпотенузу, можна схематично зобразити це так: [Тут має бути малюнок прямокутного трикутника ABC, де кут C - прямий, висота CH проведена з вершини C до гіпотенузи AB, і проєкція катета AC на гіпотенузу AH позначена як 2 см, а висота CH - 8 см.] 2. Позначення: Нехай ( riangle ABC ) – прямокутний трикутник (кут ( C = 90^circ )), ( CH ) – висота, проведена до гіпотенузи ( AB ), ( AH = 2 ) см, ( CH = 8 ) см. 3. Використання властивості висоти в прямокутному трикутнику: Висота, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проєкціями катетів на гіпотенузу. Тобто: \[CH^2 = AH cdot HB\] Підставимо відомі значення: \[8^2 = 2 cdot HB\] \[64 = 2 cdot HB\] \[HB = \frac{64}{2} = 32\] Отже, ( HB = 32 ) см. 4. Знаходження гіпотенузи: Гіпотенуза ( AB ) дорівнює сумі проєкцій ( AH ) і ( HB ): \[AB = AH + HB = 2 + 32 = 34\] 5. Обчислення площі трикутника: Площа прямокутного трикутника може бути обчислена як половина добутку гіпотенузи на висоту, проведену до неї: \[S = \frac{1}{2} cdot AB cdot CH\] \[S = \frac{1}{2} cdot 34 cdot 8\] \[S = 17 cdot 8\] \[S = 136\] Отже, площа трикутника дорівнює 136 см².