Виталий задумал двузначное число. Цифра десятков этого числа на 5 больше цифры единиц. Если разделить задуманное число на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 11. Найдите задуманное число.

Пусть цифра единиц задуманного числа равна (x). Тогда цифра десятков равна (x + 5). Само число можно записать как (10(x + 5) + x = 10x + 50 + x = 11x + 50). По условию, при делении этого числа на произведение его цифр получается частное 3 и остаток 11. То есть: \[11x + 50 = 3 cdot (x(x + 5)) + 11\] Перенесём всё в одну сторону: \[11x + 50 = 3x^2 + 15x + 11\] \[3x^2 + 4x - 39 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант (D = 4^2 - 4 cdot 3 cdot (-39) = 16 + 468 = 484 = 22^2) Корни: \[x_1 = \frac{-4 + 22}{2 cdot 3} = \frac{18}{6} = 3\] \[x_2 = \frac{-4 - 22}{2 cdot 3} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}\] Так как (x) - это цифра, то (x) должно быть целым числом от 0 до 9. Следовательно, (x = 3). Тогда цифра десятков равна (3 + 5 = 8). Искомое число равно (10 cdot 8 + 3 = 83). Проверим: Произведение цифр числа 83 равно (8 cdot 3 = 24). Разделим 83 на 24: \[83 = 3 cdot 24 + 11\] Действительно, частное равно 3, а остаток равен 11. Ответ: 83