3* Витя купил тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все страницы по порядку от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 45 листов и сложил все 90 чисел, которые на них были написаны. Могла ли полученная сумма быть равной 3500?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть сумму чисел на вырванных листах и определить, могла ли она быть равной 3500.

Каждый лист содержит два номера страниц (с одной и другой стороны листа). Так как Вася вырвал 45 листов, то всего он сложил 90 чисел.

Пусть $$a_i$$ - номер первого листа, тогда сумма номеров на этом листе равна $$a_i + (193 - a_i) = 193$$. Так как вырвано 45 листов, общая сумма номеров вырванных листов равна $$45 \cdot 193 = 8685$$.

Вырванные 45 листов содержат номера от 1 до 192. Сумма всех чисел от 1 до 192 вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии: $$\frac{n(n+1)}{2}$$, где n = 192. Таким образом, сумма равна $$\frac{192(192+1)}{2} = \frac{192 \cdot 193}{2} = 96 \cdot 193 = 18528$$.

Обозначим сумму чисел на вырванных листах как S. Тогда S должна быть равна сумме всех чисел на вырванных 45 листах. На каждом листе сумма номеров страниц равна 193, т.е. S = 45 * 193 = 8685.

Предположим, что сумма вырванных чисел равна 3500. Но минимально возможная сумма 45 листов (90 чисел) не может быть меньше чем сумма первых 90 чисел. Сумма первых 90 чисел: $$\frac{90(90+1)}{2} = 45 \cdot 91 = 4095$$.

По условию задачи необходимо сложить 90 чисел, а получили сумму 3500, что меньше минимально возможной суммы, поэтому полученная сумма не могла быть равной 3500.

Ответ: Нет, не могла.