Внутри круга взяли произвольную точку А. Где на его окружности нужно взять точку В, чтобы длина отрезка АВ была наибольшей?

Дано: Круг. Произвольная точка А внутри круга. Точка В на окружности.

Найти: Положение точки В на окружности, чтобы длина отрезка АВ была наибольшей.

Решение:

1. Визуализация:
   Представим круг и точку А внутри него. Нам нужно найти на окружности такую точку В, чтобы расстояние от А до В было максимально возможным.
2. Геометрическая интуиция:
   Чтобы расстояние АВ было максимальным, точка В должна находиться на окружности как можно дальше от точки А.
3. Рассмотрим центр круга O:
   Пусть R — радиус круга, а d — расстояние от точки А до центра O (d < R, так как А внутри круга).
4. Соединим А и O:
   Проведем прямую линию через точки А и O. Эта линия пересечет окружность в двух точках.
5. Две точки пересечения:
   Пусть одна точка пересечения — В₁, а другая — В₂.
   Эти точки находятся на противоположных концах диаметра, проходящего через А (если А совпадает с O, то любые две диаметрально противоположные точки подойдут).

6. Рассмотрим расстояние AB₁:
   Если мы выберем точку В₁ на окружности, лежащую на прямой AO, то длина отрезка AB₁ будет равна AO + OB₁ = d + R.
7. Рассмотрим расстояние AB₂:
   Если мы выберем точку В₂ на окружности, лежащую на прямой AO, но с другой стороны от O, то длина отрезка AB₂ будет равна OB₂ - AO = R - d.
8. Сравнение расстояний:
   d + R > R - d (так как d > 0).
9. Наибольшее расстояние:
   Таким образом, наибольшее расстояние от точки А до точки на окружности достигается, когда точка В находится на окружности на прямой, проходящей через центр O и точку А, и находится по ту сторону от центра, что и точка А.
10. Формулировка:
    Точка В должна лежать на окружности, на продолжении радиуса, исходящего из центра O через точку А, в направлении от А.

Ответ: Точка В должна находиться на окружности на прямой, проходящей через центр круга и точку А, на противоположной от центра стороне от точки А.