Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята такая точка М, что угол МВС = 30°, угол МСВ = 10°. Найдите угол АМС, если угол ВАС = 80°.

Решение:

1. Найдем углы при основании AB и AC треугольника ABC, зная, что он равнобедренный и угол при вершине A равен 80°.

$$∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°$$

2. Теперь найдем углы MBA и MCA:

$$∠MBA = ∠ABC - ∠MBC = 50° - 30° = 20°$$ $$∠MCA = ∠ACB - ∠MCB = 50° - 10° = 40°$$

3. Рассмотрим треугольник ABM. Найдем угол AMB:

$$∠AMB = 180° - ∠MBA - ∠BAC = 180° - 20° - 80° = 80°$$

4. Рассмотрим треугольник AMC. Найдем угол MAC:

$$∠MAC = ∠BAC - ∠BAM$$. Чтобы найти ∠BAM, рассмотрим треугольник ABM: $$∠BAM = 180 - ∠MBA - ∠AMB = 180 - 20 - 80 = 80$$; $$∠MAC = 80- 20=60$$

5. Рассмотрим треугольник BMC. Найдем угол BMC:

$$∠BMC = 180° - ∠MBC - ∠MCB = 180° - 30° - 10° = 140°$$

6. Теперь найдем угол AMC:

$$∠AMC = 360° - ∠AMB - ∠BMC = 360° - 80° - 140° = 140°$$

Ответ: 140°