4. Внутри развернутого угла DCH проведены лучи CM и CE так, что ∠DCE = 151°, ∠MCH = 123°. Найдите ∠MCE.

Для решения этой задачи, нам нужно воспользоваться свойствами углов и тем фактом, что угол DCH развернутый, то есть равен 180°.

Обозначим искомый угол ∠MCE через x. Тогда, мы можем записать следующее уравнение, исходя из того, что сумма углов ∠DCE, ∠MCE и ∠MCH составляет 180°:

$$ \angle DCE + \angle MCE + \angle MCH = 180^\circ $$

Подставим известные значения углов:

$$ 151^\circ + x + 123^\circ = 180^\circ $$

Решим уравнение относительно x:

$$ x = 180^\circ - 151^\circ - 123^\circ $$ $$ x = 180^\circ - 274^\circ $$

Здесь мы видим, что что-то пошло не так. Сумма углов ∠DCE и ∠MCH уже больше 180 градусов. Перепроверим условие.

Угол ∠DCE должен быть расположен между лучами CD и CH, а угол ∠MCH также между лучами CD и CH. В таком случае, если ∠DCE = 151° и ∠MCH = 123°, то луч CE должен лежать между лучами CM и CH.

Тогда угол ∠DCH можно представить как сумму углов ∠DCE и ∠ECH, то есть ∠DCH = ∠DCE + ∠ECH. Также угол ∠DCH можно представить как сумму углов ∠DCM и ∠MCH, то есть ∠DCH = ∠DCM + ∠MCH.

Следовательно, ∠DCM + ∠MCH = ∠DCE + ∠ECH = 180°.

Нам нужно найти ∠MCE. Используем соотношение ∠DCE = ∠DCM + ∠MCE, откуда ∠MCE = ∠DCE - ∠DCM.

Выразим ∠DCM из равенства ∠DCM + ∠MCH = 180°, тогда ∠DCM = 180° - ∠MCH = 180° - 123° = 57°.

Теперь найдем ∠MCE: ∠MCE = ∠DCE - ∠DCM = 151° - 57° = 94°.

Ответ: 94°