Внутри треугольника ABC взяли точку O так, что OM — серединный перпендикуляр к стороне AB, ON — серединный перпендикуляр к стороне AC. Известно, что AO = 24 см, ∠BOC = 60°. Найдите BC. Ответ дайте в сантиметрах.

Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить свойства серединных перпендикуляров и некоторые теоремы геометрии.

1. Свойства серединного перпендикуляра: Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. Следовательно, так как OM — серединный перпендикуляр к AB, то AO = BO. Аналогично, так как ON — серединный перпендикуляр к AC, то AO = CO.

2. Равнобедренные треугольники: Из равенств AO = BO = CO следует, что треугольники AOB и AOC — равнобедренные.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: В треугольнике AOB углы при основании AB равны, то есть ∠OAB = ∠OBA. Аналогично, в треугольнике AOC углы при основании AC равны, то есть ∠OAC = ∠OCA.

4. Сумма углов в треугольнике: Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.

Теперь перейдем к решению. Так как AO = BO = CO, то точка O является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Угол ∠BOC равен 60°. Угол ∠BAC является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу BC, что и центральный угол ∠BOC. По теореме о вписанном и центральном углах, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Однако, нужно учесть, что возможны два случая: угол ∠BAC может быть острым или тупым.

По условию задачи OM и ON - серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно. Следовательно, точка O лежит внутри треугольника ABC. В этом случае угол ∠BAC является половиной угла ∠BOC.

Тогда ∠BAC = 1/2 * ∠BOC = 1/2 * 60° = 30°.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику ABC:

$$ \frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R $$, где R - радиус описанной окружности.

В нашем случае R = AO = 24 см. Тогда

$$ BC = 2R \cdot \sin{\angle BAC} = 2 \cdot 24 \cdot \sin{30°} $$

Поскольку sin(30°) = 1/2, получаем:

$$ BC = 2 \cdot 24 \cdot \frac{1}{2} = 24 $$

Ответ: 24