Во вписанном четырёхугольнике $$ABCD$$ отметили точку $$E$$ — пересечение лучей $$AD$$ и $$BC$$ и точку $$F$$ — пересечение лучей $$AB$$ и $$DC$$. Оказалось, что $$CD = DE$$, \(∠AEB = 51°\) и угловые меры дуг \(\stackrel{\frown}{BC}\) и \(\stackrel{\frown}{AD}\) находятся в соотношении 2 : 5. Найдите угол $$AFD$$. Ответ выразите в градусах.

Пусть \(\stackrel{\frown}{BC} = 2x\), \(\stackrel{\frown}{AD} = 5x\). Тогда \(∠AEB = \frac{1}{2}| \stackrel{\frown}{AD} - \stackrel{\frown}{BC} | = \frac{1}{2} |5x - 2x| = \frac{3x}{2} = 51°\). Отсюда \(3x = 102°\), значит \(x = 34°\).

\(\stackrel{\frown}{BC} = 2x = 2 \cdot 34° = 68°\), \(\stackrel{\frown}{AD} = 5x = 5 \cdot 34° = 170°\).

Т.к. \(CD=DE\), то \(∠DEC = ∠DCE = y\). Тогда \(∠CDE = 180° - 2y\). Угол \(∠ADE\) является внешним углом треугольника \(CDE\), поэтому \(∠ADE = ∠DEC + ∠DCE = y + y = 2y\).

Четырехугольник \(ABCD\) вписанный, значит \(∠ABC + ∠ADC = 180°\). Угол \(∠ADC = ∠ADE + ∠EDC = 2y + y = 3y\). Заметим, что \(∠AEB = 51°\), тогда \(∠AEC = 180° - 51° = 129°\).

Сумма углов в треугольнике \(AEC\) равна \(180°\), значит \(∠EAC + ∠ECA = 180° - 129° = 51°\). Но \(∠EAC = ∠DAC\), a \(∠ECA = ∠BCA\), значит \(∠DAC + ∠BCA = 51°\). Следовательно, \(\stackrel{\frown}{CD} + \stackrel{\frown}{AB} = 2(∠BCA + ∠DAC) = 2 \cdot 51° = 102°\).

Получаем, что \(\stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{CD} + \stackrel{\frown}{DA} + \stackrel{\frown}{AB} = 360°\).

Тогда \(68° + \stackrel{\frown}{CD} + 170° + \stackrel{\frown}{AB} = 360°\).

\(\stackrel{\frown}{CD} + \stackrel{\frown}{AB} = 360° - 68° - 170° = 122°\).

\(\stackrel{\frown}{AB} = 122° - \stackrel{\frown}{CD}\), c другой стороны \(\stackrel{\frown}{CD} + \stackrel{\frown}{AB} = 102°\).

Получается система уравнений: $$\begin{cases} \stackrel{\frown}{CD} + \stackrel{\frown}{AB} = 102 \\ \stackrel{\frown}{CD} + \stackrel{\frown}{AB} = 122 \end{cases}$$

Решим систему, получим: $$\begin{cases} \stackrel{\frown}{CD} = 51° \\ \stackrel{\frown}{AB} = 51° \end{cases}$$

Угол \(∠AFD = \frac{1}{2} |\stackrel{\frown}{AD} - \stackrel{\frown}{BC}| = \frac{1}{2} |51°-51°| = \frac{1}{2} (170°-51°) = \frac{1}{2} \cdot 119 = 59.5°\).

Ответ: 59.5°