Во время встречи некоторые участники пожали руки некоторым другим. Докажите, что количество участников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно.

Давайте рассмотрим задачу. Пусть каждый участник имеет некое число рукопожатий, выраженное числом. Тогда общее число рукопожатий в группе будет равно сумме чисел рукопожатий всех участников. Поскольку каждое рукопожатие между двумя людьми прибавляет 1 к числу рукопожатий каждого из них, то общее число рукопожатий будет чётным числом. Теперь заметим, что если количество участников с нечётным числом рукопожатий было бы нечётным, то сумма всех рукопожатий также была бы нечётной (сумма нечётного числа нечётных чисел даёт нечётное число). Но это противоречит тому, что общее число рукопожатий чётное. Следовательно, количество участников с нечётным числом рукопожатий должно быть чётным.