Вольт-амперные характеристики газовых ламп П1, П2 и Л₃ при достаточно больших значениях сил тока хорошо описываются зависимостями: $$U_1 = \alpha I^2$$, $$U_2 = 3\alpha I^2$$, $$U_3 = 12\alpha I^2$$, где $$\alpha$$ – некоторая известная размерная константа. Лампы соединили так, как показано на рисунке. При токах, при которых выполняются указанные выше квадратичные зависимости, зависимость напряжения на этом участке имеет вид $$U = k\alpha I^2$$. Чему равно $$k$$? Ответ округлите до десятых.

Для решения этой задачи, нам нужно проанализировать схему соединения ламп и использовать заданные вольт-амперные характеристики.

Лампы Л2 и Л3 соединены параллельно. Общее напряжение на параллельном участке равно напряжению на каждой из ламп. Поскольку токи через них могут быть разными, обозначим ток через Л2 как $$I_2$$, а ток через Л3 как $$I_3$$. Общий ток через параллельный участок равен $$I_2 + I_3 = I$$.

Напряжение на параллельном участке:

$$U_2 = 3\alpha I_2^2$$

$$U_3 = 12\alpha I_3^2$$

Так как лампы соединены параллельно, то $$U_2 = U_3$$:

$$3\alpha I_2^2 = 12\alpha I_3^2$$

Разделим обе части на $$3\alpha$$:

$$I_2^2 = 4I_3^2$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей (учитывая, что ток не может быть отрицательным):

$$I_2 = 2I_3$$

Общий ток $$I = I_2 + I_3 = 2I_3 + I_3 = 3I_3$$. Отсюда, $$I_3 = \frac{I}{3}$$ и $$I_2 = \frac{2I}{3}$$.

Напряжение на параллельном участке (например, на Л2):

$$U_2 = 3\alpha I_2^2 = 3\alpha \left(\frac{2I}{3}\right)^2 = 3\alpha \cdot \frac{4I^2}{9} = \frac{4}{3}\alpha I^2$$

Теперь рассмотрим последовательное соединение Л1 и параллельного участка (Л2 и Л3). Общее напряжение $$U$$ будет равно сумме напряжений на Л1 и на параллельном участке:

$$U = U_1 + U_2 = \alpha I^2 + \frac{4}{3}\alpha I^2 = \frac{3}{3}\alpha I^2 + \frac{4}{3}\alpha I^2 = \frac{7}{3}\alpha I^2$$

По условию задачи $$U = k\alpha I^2$$. Сравнивая это с полученным выражением, находим $$k$$:

$$k = \frac{7}{3} \approx 2.33$$

Округляя до десятых, получаем $$k = 2.3$$.

Ответ: 2.3