Вопрос 1. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Геометрический и физический смысл определенного интеграла

Вопрос 1. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл - это число, равное разности значений первообразной подынтегральной функции в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$, где F(x) - первообразная функции f(x).

Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный интеграл с первообразной функции.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Если f(x) ≥ 0 на [a, b], то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Если f(x) принимает как положительные, так и отрицательные значения на [a, b], то определенный интеграл равен разности между площадью фигуры, расположенной выше оси Ox, и площадью фигуры, расположенной ниже оси Ox.

Физический смысл определенного интеграла:

Если v(t) - скорость движения тела в момент времени t, то определенный интеграл от v(t) по промежутку времени [a, b] равен перемещению тела за этот промежуток времени.

$$ s = \int_{a}^{b} v(t) dt $$, где s - перемещение тела.

Ответ: Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница, геометрический и физический смысл определенного интеграла объяснены выше.