Вопрос №6. Докажите тождество: ((1,5x − 4)/(0,5x² − x + 2) − (2x − 14)/(0,5x³ + 4) + 1/(x + 2)) · (x + 2)/4 = 1.

Область допустимых значений: \(x\ne -2\), поскольку при \(x=-2\) знаменатели \(0,5x^3+4\) и \(x+2\) равны нулю. Знаменатель \(0,5x^2-x+2\) действительных корней не имеет.

Разложим знаменатели и приведём выражения в скобках к общему знаменателю:

\[0,5x^2-x+2=0,5(x^2-2x+4),\qquad 0,5x^3+4=0,5(x+2)(x^2-2x+4).\]

Тогда

\[\frac{1,5x-4}{0,5x^2-x+2}-\frac{2x-14}{0,5x^3+4}+\frac1{x+2}=\frac{(3x-8)(x+2)-(4x-28)+(x^2-2x+4)}{(x+2)(x^2-2x+4)}.\]

Упростим числитель:

\[(3x-8)(x+2)-(4x-28)+(x^2-2x+4)=4x^2-8x+16=4(x^2-2x+4).\]

Следовательно, выражение в скобках равно \(\frac{4}{x+2}\), и

\[\frac{4}{x+2}\cdot\frac{x+2}{4}=1,\qquad x\ne-2.\]

Тождество доказано.