Вопрос №6. Докажите тождество: \(\left(\frac{1,5x-4}{0,5x^2-x+2}-\frac{2x-14}{0,5x^3+4}+\frac{1}{x+2}\right)\cdot\frac{x+2}{4}=1\).

Область допустимых значений: \(x\ne-2\). Квадратный множитель \(x^2-2x+4\) не обращается в ноль при действительных \(x\), поскольку его дискриминант отрицателен.

Обозначим \(Q=x^2-2x+4\). Тогда \(0,5x^2-x+2=0,5Q\), а \(0,5x^3+4=0,5(x+2)Q\). Перепишем выражение в скобках с общим знаменателем:

\[\frac{3x-8}{Q}-\frac{4x-28}{(x+2)Q}+\frac{1}{x+2}=\frac{(3x-8)(x+2)-(4x-28)+Q}{(x+2)Q}.\]

Упростим числитель:

\[(3x-8)(x+2)-(4x-28)+Q=3x^2-2x-16-4x+28+x^2-2x+4=4Q.\]

Значит, выражение в скобках равно \(\frac{4Q}{(x+2)Q}=\frac{4}{x+2}\). Подставим:

\[\frac{4}{x+2}\cdot\frac{x+2}{4}=1,\qquad x\ne-2.\]

Следовательно, тождество доказано на всей области допустимых значений.